蜘蛛丝限制下叶子的运动
真实的风会推整片叶子，左右两侧产生的转动作用方向相反。如果没有完全抵消，就留下一个总力矩，使叶子开始转。
蜘蛛丝限制下叶子的运动
真实的风会推整片叶子，左右两侧产生的转动作用方向相反。如果没有完全抵消，就留下一个总力矩，使叶子开始转。
2026年10月2日下午5点，作者拍摄。
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图 1：晚上的月亮（作者拍摄）
之前在操场跑步的时候，场子很空旷，注意到月亮会变化，也琢磨过它是怎么动的。后来学会了，通过月相大致判断是在农历上半月还是下半月，再想想自己画的图（如图2），以太阳每天的东升西落为参照，看月亮在太阳的东边还是西边、相隔多少角度，就能大致推算它比太阳早或晚多久升起、落下。
图 2：日、地、月相对位置（作者手绘）
先用一个简化的办法理解：地球自转一圈约360°，用时约24小时。四分之一圈是90°，对应的就是约6小时。这样就能大致理解，不同月相为什么会在不同时间升起。
新月与太阳同方向白天在天上，和太阳同升同落，看不见；上弦月比太阳滞后90°中午升起，午夜落下，傍晚在南方最高；满月与太阳相对（180°）日落时升起，午夜最高，日出时落下；下弦月领先太阳90°午夜升起，正午落下，清晨在南方最高（如图3）。
图 3：不同月相，大致什么时候升落
这些都是大致的时段，具体时间还会随季节和地点变化。再看到傍晚东边那轮圆月，我就知道，它刚升起不久，今晚还会在天上待很长时间。
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雨后，天空里有时能看到一段很整齐的圆弧。水滴并没有排成弧线，但不同颜色的光却沿着弧线出现。
天空中有许多近似球形的水滴。由于太阳很远，到达一小片雨幕的阳光可以看成一束束平行光。
阳光进入水滴时发生折射；到达水滴背面后，一部分光射出，一部分被反射回内部。反射的光到达另一侧，再次折射并离开水滴。这就是形成主虹的一条典型光路。
图中的 α 是入射角，β 是折射角。两个角度都是相对于水滴表面的法线测量的。光线进入水滴后会向法线方向偏折。
空气的折射率近似取 1，水的折射率约为 1.33。入射角和折射角满足：
所以，β = arcsin(sin α / 1.33)。折射率与颜色略有关系，图中先用一个近似值讨论光线的几何路径。
不同的入射位置，对应不同的入射角。光线走过水滴后，最终出射方向也会有所不同。把出射方向相对原来入射方向的总转向角记作 D(α)。
对于一次内部反射的主虹光路，总偏转角可以写成：
这条曲线有一个最低点。接下来，彩虹的亮度就与它有关。
图中最值得注意的地方，是总偏转角 D(α) 并不是一直增大或一直减小。它会先减小，再增大。
在极小值附近，入射角即使变化一些，出射方向也变化得很少。很多光线因此会聚集在相近的方向。这个方向上的光就比较强。
水滴并不是把所有方向的光都均匀地送到我们眼里。比较多的光会从接近极小偏转角的方向射出来，因此我们更容易看到那个方向的颜色。
不同颜色的光在水中的折射率略有不同，对应的集中方向也不同。这是彩虹颜色分开的原因之一。
对于主虹，红光的典型观察角约为 42°，紫光更靠内侧，约为 40°。
这里的角度不是水滴在天空中的高度，而是以反太阳方向为中心，从观察者眼睛量出去的角度。
将与反太阳方向成约 42° 的视线绕一圈，会得到一个圆锥面。落在这些方向上的水滴，能够把相应的主虹光送入观察者的眼睛。于是，看到的颜色沿圆弧排列。
这些视线围成一个完整的圆。地面上通常只能看到其中一段；当视野延伸到下方、那里也有受阳光照亮的水滴时，就有机会看到完整圆虹。
移动太阳高度滑块，看看圆弧怎样变化。再切换观察位置，看看眼平线以下的那部分圆。
地面场景：假定地势平坦，地平线以下的视线被地面遮挡，因此通常只见圆的一部分。
图中位置表示视线方向，不表示水滴的实际距离；这是简化的二维角度示意，并非严格的天空投影。
两个人站在不同的位置，能够把光送进他们眼睛里的水滴，也就不完全相同。
彩虹看起来像挂在远处的物体，其实它由太阳、水滴和观察者之间的几何关系决定。
有时主虹外侧还会出现一道较暗的副虹。副虹的光在水滴内部经历两次反射，所以它的颜色顺序与主虹相反。
下面两张照片拍于北京，2021 年 5 月。第一张是主虹，第二张同时出现了主虹和副虹。
从理论上说，水滴中经历三次、四次或更多次反射的光，也可能形成更高阶的虹，只是通常不容易在日常观察中看到。
从一滴水中的光路，到天空里的一段圆弧，中间连接着的是一个角度，以及观察者站立的位置。
